Patricia

El trabajo de Patricia

Resuelvo el problema que tiene de enunciado general. Calcula sen nx y cos nx en función de sen x y cos x:

Para resolverlo utilizo la fórmula de De Moivre, desarrollando el primer miembro mediante el binomio de Newton y luego se igualan partes reales y partes imaginarias. A continuación escribo el proceso en dos casos.

Ejemplo1: Calcula sen 2x y cos 2x en función de sen x y cos x:

Planteo la fórmula de De Moivre (cos x + i sen x)² = cos2x + i sen 2x

Desarrollo la potencia (cos x + i sen x)² = cos² x + 2·cos x·isen x + (isen x)², realizando las operaciones:

(cos x + i sen x)² = cos²x +i 2sen x·cosx –sen²x agrupando partes reales e imaginarias

(cos x + i sen x)² = (cos ²x – sen²x)+ i2senx ·cos x = cos 2x + isen 2x por la Fórmula de DE Moivre.

Igualando partes reales e imaginarias tenemos:

sen2x = 2senx ·cos x

cos 2x = cos ²x – sen²x

Que recordamos de la Trigonometría.

Ejemplo 2: Calcula sen 3x y cos 3x en función de sen x y cos x:

Planteo la fórmula de De Moivre (cos x + i sen x)³ = cos3x + i sen 3x

Desarrollo la potencia

(cos x + i sen x)³ = cos³ x + 3·cos² x·isen x +3·cos x·(isen x)² + (isen x)³,

realizando las operaciones y calculando las potencias de i se obtiene:

(cos x + i sen x)³ = cos³x +i 3sen x·cos²x -3·cos x·sen²x – isen³x

agrupando partes reales e imaginarias

(cos x + i sen x)³ = (cos³x – 3·cos x·sen²x)+i(3sen x·cos²x - sen³x )

= cos 3x + isen 3x por la Fórmula de De Moivre.

Igualando partes reales e imaginarias tenemos:

cos3x = cos³x – 3·cos x·sen²x

sen 3x = 3sen x·cos²x - sen³x

Por el mismo método calcularíamos otras expresiones

Ejercicio: Calcula sen 4α y cos 4α en función de sen α y cos α: